Vas a un nou país, a una nova terra, i clar, vols fer amistats. Et creues algú pel carrer i vols saber si teniu alguna amistat en comú. O si té un amic que és amic d’un amic teu. Al final, t’acabes preguntant per quants amics d’amics hauràs de passar per trobar una connexió entre aquell desconegut i tu. Quina és la longitud de la cadena d’amics entre ell i tu? Sorprenentment, es podria dir que esteu a 6 graus de distància, per a qualsevol persona al món!

1. Només calen 6 connexions per anar d’A a B.

Les xarxes

Aquest resultat xocant ens ve de l’estudi de les xarxes complexes. Una xarxa no és més que un conjunt de nodes connectats o no entre si mitjançant enllaços. Podem pensar molts tipus de xarxes, per exemple la ferroviària, on els nodes serien les estacions i els enllaços les vies; o la xarxa elèctrica, on cada casa serien els nodes i els cables serien els enllaços. 

També podem pensar en xarxes a internet, on sembla que el terme sigui més natural. D’aquesta manera, internet mateix és una gran xarxa, però també ho són les xarxes socials, on els nodes serien les persones i els enllaços les relacions d’amistat que estableixen entre elles.

2. Les relacions humanes poden estar representades en una xarxa, on cada enllaç representa l’amistat entre les dues persones.

Al final, si hi pensem, la majoria de coses es poden descriure en forma de xarxa, fins i tot les relacions humanes. En aquest cas, les persones serien els nodes i si es coneixen hi hauria un enllaç entre elles a la xarxa.

El camí més curt

De totes aquestes xarxes, sovint ens interessa trobar el camí més curt entre dos nodes. És a dir, quin és el mínim nombre de nodes pels quals hem de passar –usant els enllaços disponibles– per anar des d’un node fins a un altre qualsevol. A aquest nombre l’anomenem distància entre dos nodes.

Podria passar que no hi hagués un camí disponible entre dos nodes. Per exemple, si un d’ells està completament aïllat i no té cap enllaç amb ningú o bé si el node forma part d’un grup separat de la resta de la xarxa. Suposarem, però, que la xarxa està connectada, és a dir, que des d’un node es pot anar a qualsevol altre, tal com passa a la majoria de xarxes reals.

Com podem atribuir una distància a tota la xarxa? Podríem calcular totes les distàncies entre totes les parelles de nodes i agafar-ne la major. Però aquesta mesura és poc pràctica. Normalment, en mesurem la distància mitjana. Així, es calculen totes les distàncies entre cada parella de nodes de la xarxa i se’n computa la mitjana aritmètica. Aquesta mesura ens dona molta informació a l’hora d’estudiar la xarxa. Per exemple, si estem estudiant una xarxa d’una empresa de repartiment, ens diu quanta estona tardarem, de mitjana, a fer qualsevol entrega.

Posem-ho a prova!

Stanley Milgram, l’any 1967, va dur a terme un experiment per posar a prova els 6 graus de distància que, suposadament, hi ha com a màxim entre dues persones a tot el món. Va enviar cartes a gent seleccionada aleatòriament amb la foto i la informació d’una persona concreta, el destinatari final. En les cartes, es demanava que fossin reenviades a l’amic o conegut que fos més probable que conegués l’objectiu final –si elles mateixes no el coneixien. Per fer-ho, els demanava que usesin les dades que tenien de la persona.

Al final, 64 de les 296 cartes van arribar a la destinació i Milgram va estimar que el nombre mitjà d’intermediaris era d’uns 5,2. És a dir, s’acostava prou als sis graus que ens prediu la teoria. Això no obstant, aquest estudi no és molt fiable, ja que un terç de les cartes van ser enviades a la mateixa ciutat que la persona destinatària i un altre terç a persones de la mateixa professió.

Un estudi semblant s’ha pogut fer de forma completa a Facebook, perquè en aquesta xarxa social podem obtenir les amistats de cada persona –cosa que és pràcticament impossible fer a la vida real. Així, un estudi de 2011, prenent 721 milions d’usuaris com a nodes i un total de 68 bilions d’enllaços representant amistats, es va poder calcular que la distància mitjana és de 4,74. És a dir, cada usuari de Facebook només necessita unes 5 sol·licituds d’amistat per ser amics de qualsevol!

Només a distància 6?

Aquest resultat ha captivat l’opinió pública des de fa temps i no és estrany que ens sorprengui. Quan pensem en una xarxa ens ve a la ment una cosa ben ordenada, ja sigui una tira de nodes connectats linealment, una graella de nodes connectats amb els seus veïns o bé un cercle on els nodes més propers estan connectats.

3. Xarxa en forma de cercle on només els veïns estan connectats.

En tots aquests casos, la distància mitjana creix a mesura que creix el nombre de nodes. És a dir, com més nodes hi ha, més passos haurem de fer per anar entre dos nodes qualssevol de la xarxa.

Però això no passa a totes les xarxes, ja que podem tenir un enllaç entre dos nodes molt allunyats que provoqui un escurçament de les distàncies. Les xarxes que presenten aquesta propietat s’anomenen xarxes de món petit. És el que passa a les xarxes que descriuen relacions d’amistat, siguin reals o virtuals: hi ha algú relativament proper que té un amic a l’altra punta del món.

Les xarxes aleatòries, és a dir, les generades posant enllaços a l’atzar, ens serveixen per modelar aquestes xarxes de món petit. D’aquesta forma, malgrat que no siguin bones representacions de les xarxes de relacions reals –no fem amistats de forma aleatòria, només ens cal veure com coneixem més gent de la zona on vivim– ens ajudaran a trobar una aproximació de la distància mitjana d’aquestes.

Com aproximem la distància mitjana d’una xarxa aleatòria?

Per fer-ho, usem el grau mitjà de la xarxa: el nombre d’enllaços que té cada node de mitjana. És a dir, en el nostre exemple, quants coneguts tenim de mitjana els humans. Ho escrivim com 〈k〉. 

El matemàtic Pál Erdős, que va estudiar les xarxes formades aleatòriament, va descobrir que la distància mitjana d’aquestes xarxes, 〈d〉, es pot aproximar usant l’expressió:

    \[\langle d\rangle \approx\frac{\ln N}{ \ln \langle k \rangle}\]

on N és el nombre de nodes.

Ja per acabar…

Hem vist que les xarxes reals, com per exemple la de coneguts a la Terra, presenten la característica del món petit. Quan presenten aquesta característica podem aproximar la seva distància mitjana utilitzant la fórmula descoberta per Erdős. D’aquesta forma, si considerem que a la terra hi ha 7000 milions d’humans –és a dir, que N=7.000.000.000– i que de mitjana tots coneixem a unes 50 persones –per tant, 〈k〉= 50–, obtenim que 〈d〉≈6. És a dir, entre tu i qualsevol desconegut, hi ha una cadena d’unes 6 persones.

El món és un mocador de paper!

Per saber-ne més

Viquipèdia – Sis graus de separació

Veritasium – The Science of Six Degrees of Separation

Albert-László Barabási – Network Science

1. Extreta de Laurens van Lieshout, CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons.

3. Extreta de Booyabazooka, CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons.