Cada any per Carnaval, se celebra a la regió del Vallès una ballada tradicional: El Ball de Gitanes. En concret, al poble de Sant Esteve de Palautordera és una de les ballades més populars i nombroses, i en la qual tinc l’honor de participar. Coordinar tots els balladors no és fàcil i, com passa habitualment, sorgeixen dubtes matemàtics que cal resoldre!
El Ball de Gitanes
L’origen del Ball de Gitanes és incert. El folklorista i etnòleg català Joan Amades especula que els antecedents d’aquesta dansa es poden remuntar fins a l’època romana. Això no obstant, la primera constància que se’n té és del 1767 a Sant Celoni, per una referència que se’n fa a un escrit de 1887.
A Sant Esteve sabem que la tradició es va perdre durant els anys 20, però l’any 1980 un grup de joves del poble, encapçalats pel coreògraf i ballarí Joan Serra, van recuperar-les. Serra, que va dedicar la seva vida a la recuperació de balls i danses tradicionals, aviat es va interessar pel Ball de Gitanes. Anant casa a casa i consultant els arxius locals va aconseguir recuperar-ne els diferents balls i cançons.
Gràcies a l’impuls de Joan Serra, la recuperació de les gitanes va seguir l’any següent a Sant Celoni, i després, durant aquests darrers 40 anys, a Llinars, Granollers, Cardedeu, Santa Maria de Palautordera i més pobles del Vallès i del Baix Montseny.
Més que un ball, la celebració és una ballada, composta per balls enèrgics i diversos personatges. Cada un dels balls té la seva pròpia coreografia i es ballen en grup de diferents persones. Al final, a Sant Esteve, la plaça queda plena amb més de 200 balladors.
A part dels balladors, també hi participen altres personatges com els diablots, encarregats de fer espai a la plaça i de crear caos i disbauxa. Un altre personatge famós són les Velles, encarregades de fer el pregó, carregat de burla i ironia.
Quants balladors hi ha?
Una persona del públic veu que, a cada ball, entren alguns balladors i en surten d’altres. Això és perquè molts dels balls es ballen en grups. El mateix espectador s’adona que en el primer ball, que es balla en grups de 5, sobren tres persones, que no ballen. Al següent ball, la Jota de Sant Esteve, que es balla en grups de 8, sobren també 3 persones i, finalment, a la Jota B, que es balla en grups d’onze persones, en sobren 5.
L’espectador és incapaç de comptar tota la gent que participa en el ball, hi ha moltíssims balladors! Però vol fer servir la informació que ha recollit per saber-ne el nombre total. Si traduïm el problema, està buscant un nombre que, en relació amb el que ha vist a la plaça, compleixi les següents condicions/característiques:
- quan es divideix entre 5 dona de residu 3
- quan es divideix entre 8 dona de residu 3
- quan es divideix entre 11 dona de residu 5
La forma que primer se’ns acudeix per resoldre aquest problema és anar provant nombres, però clarament és una estratègia dolenta. Haurem de fer ús d’un teorema molt antic anomenat el Teorema Xinès dels Residus. Abans, però, necessitem saber què és l’aritmètica modular.
Aritmètica modular
L’aritmètica modular consisteix en el següent: en lloc de considerar els nombres en si, es considera el residu obtingut en una divisió. També es coneix com a aritmètica del rellotge, perquè quan hem arribat al nombre pel qual dividim, tornem a l’inici: només hi ha un nombre finit de possibles nombres que es van repetint.
Per exemple, si la divisió que considerem és entre 5, el nostre rellotge serà de 5 nombres. Mirem-nos-ho:
| Nombre 0 | Entre 5 dona 0 de residu | El rellotge marcarà 0 |
| Nombre 1 | Entre 5 dona 1 de residu | El rellotge marcarà 1 |
| Nombre 2 | Entre 5 dona 2 de residu | El rellotge marcarà 2 |
| Nombre 3 | Entre 5 dona 3 de residu | El rellotge marcarà 3 |
| Nombre 4 | Entre 5 dona 4 de residu | El rellotge marcarà 4 |
| Nombre 5 | Entre 5 dona 0 de residu | El rellotge marcarà 0. Hem tornat a començar! |
| Nombre 6 | Entre 5 dona 1 de residu | El rellotge marcarà 1 |
| … | … | … |
| Nombre 234 | Entre 5 dona 4 de residu | El rellotge marcarà 4 |
Si ens hi fixem, cada 5 nombres fem una rotació del rellotge i tornem a l’inici. Així, els infints nombres naturals que tenim queden reduïts a només 5 elements.
Perquè serveix això?
Això, que podria semblar una ximpleria, és extremadament útil en matemàtiques. Quan fem la prova de divisió de 3 –allò de sumar les xifres d’un nombre per saber si aquest és divisible entre 3– estem fent servir, d’alguna forma, aritmètica modular.
També serveix com a punt de partida per la Teoria de Galois, una de les grans conclusions de la qual és que no hi ha una fórmula per solucionar equacions polinòmiques de grau més gran que 4 en termes de divisions i arrels. Però això ho deixem per un altre article!
Finalment, l’aritmètica modular s’utilitza en la major part de la criptografia actual, en concret a la criptografia RSA.
Teorema Xinès dels Residus
El Teorema Xinès dels Residus és un resultat d’aritmètica modular que ens serveix per resoldre problemes com el del nostre espectador. Es troba en la seva forma actual en un llibre del matemàtic xinès Qin Jiushao, de l’any 1247, però ja es menciona anteriorment en un problema de comptar soldats a un llibre Xinès del segle III.
El teorema ens diu que si els nostres nombres –les dades del problema– compleixen certes condicions, llavors hi ha una única solució més petita que la multiplicació de tots els possibles grups.
Podem trobar la solució fàcilment fent un garbellat: pintant una graella amb tots els nombres de l’u fins a la multiplicació de tots els possibles grups i anant-hi marcant els que corresponguin a cada condició:
- La primera condició ens fa marcar tots els nombres que en dividir-los entre 5 donen de residu 3. Així, marcarem el 3, el 8, el 13, el 18, etc.
- La segona ens diu que haurem de marcar tots els nombres que dividits entre 8 donin de residu 3. D’aquesta forma marcarem el 3, l’11, el 19, el 27, etc.
- Finalment, per la darrera condició marcarem tots els nombres que en dividir-los entre 11 tinguem residu 5. Marcarem, doncs, el 5, el 16, el 27, el 38…
Per saber quina és la solució, només caldrà mirar quin nombre està marcat per les 3 condicions; aquest serà el nombre de balladors a la plaça.
Això no obstant, per nombres grossos aquesta tasca és molt pesada. Hi ha altres maneres molt més eficients, una de les quals ens la dona la demostració del mateix teorema. Tanmateix, aquesta forma és més complicada i no l’explicarem aquí. La podem trobar a algun enllaç del “Per saber-ne més”.
Ja per acabar…
En el nostre cas, si l’espectador fa servir alguna de les possibles tècniques per resoldre el problema obtindrà que l’única solució –garantida pel teorema– és de 203 persones. És a dir, ballant les gitanes hi havia 203 balladors enguany, una passada!
Ballarem, ballarem i ballarem!
Per saber-ne més
Wikipedia – Chinese remainder theorem
Viquipèdia – Aritmètica modular
Viquipèdia – Ball de Gitanes
Fotografies: 1 de l’arxiu personal de la Martina Güell; 2, 3 i la portada, pròpies de l’autor.
