L’infinit és aquella idea que tenim tots d’alguna cosa que no s’acaba. Els números de comptar per exemple: comences per l’1, després el 2 … És el joc que tots hem fet de petits d’intentar dir el número més alt possible. Però sempre n’hi ha un de més gran, perquè sempre podem sumar 1!
Una cosa que molta gent no sap de l’infinit és que no només n’hi ha un, sinó que en tenim de diferents tipus i alguns són més grans que els altres!
L’infinit de comptar
Ja vam veure en un article anterior que comptar i comparar conjunts infinits no és gens difícil. Imagineu que tenim dos cistells amb infinits grans de raïm. Com sabem si en un cistell n’hi ha més o si en els dos tenim el mateix nombre?
No podem anar un per un, com ho fem amb dos cistells de raïm del supermercat, ja que n’hi ha infinits. Malgrat això, podem anar fent parelles entre els dos conjunts i veure si els grans s’acaben alhora. Si fos així, els dos conjunts tenen el mateix nombre de grans, mentre que si s’acaben primer els d’un cistell, voldria dir que aquest en té menys.
Això ens porta al primer infinit, el de tota la vida, el de comptar: 1, 2, 3... Aquest conjunt també el coneixem com nombres naturals. Aquest infinit ens ajuda moltíssim en la tècnica de fer parelles, perquè podem fer-lo servir per fer llistes. Qualsevol conjunt que es pugui escriure en una llista aleshores tindrà el mateix nombre d’elements que l’infinit de comptar.
Per què una llista?
Una llista no és més que un conjunt de parelles on cada element té un número dels de comptar. Així, la llista del mercat podria ser
- Tomàquets
- Pebrot
- Pastanaga
- Rap
on a cada aliment li correspon un únic nombre natural. La idea és fer llistes dels nostres conjunts. Si ho aconseguim sense deixar-nos cap element, voldrà dir que en tenim la mateixa quantitat que de naturals.
Considerem tots els nombres enters: els naturals ーi el zeroー i els negatius: …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… A primer cop d’ull sembla que aquest conjunt tingui el doble d’elements que els nombres de comptar, però els podem escriure en una llista ーinfinitaー sense deixar-nos-en cap:
- 0
- 1
- -1
- 2
- -2
- 3
…
És a dir, els dos conjunts tenen el mateix nombre d’elements! Aquí ens podria semblar que si tens una llista infinita qualsevol conjunt infinit t’hi cap, clar, a una llista que no s’acaba mai hi podem posar qualsevol element, no? Doncs no! Hi ha conjunts infinits amb un nombre d’elements més gran que el dels nombres naturals i que no es poden posar en una llista. A més, la demostració és molt senzilla!
Un infinit més gran
Volem comptar ara tots els números entre 0 i 1. Hi ha el 1/2=0,5; el 1/4=0,25; i així infinits nombres racionals més. Però també n’hi ha d’irracionals, és a dir, aquells que no es poden escriure en forma de fracció. Aquests nombres tenen una propietat molt important i és que en la seva expressió decimal tenen infinits números després de la coma i, a més, mai trobem un patró que es repeteixi –no són periòdics. Un exemple famós d’irracional és el nombre auri, els primers decimals del qual són φ=1,6180… i així fins a l’infinit.
Això no obstant, el nombre auri no està entre 0 i 1! No és cap problema, perquè els irracionals són a tot arreu. En trobem tants com vulguem. Podem pensar els dos nombres més propers que se’ns acudeixin que entremig sempre hi haurà un nombre irracional.
Els nombres entre 0 i 1 no caben en una llista infinita!
Anem al tema. ¿Com podem veure que aquest conjunt no es pot escriure en una llista? Intentem-ho, suposem que sí i escrivim una de les possibles llistes infinites.
- 0,2346…
- 0,5348…
- 0,7854…
- 0,6523…
…
Cada número té infinits decimals i per això posem els punts suspensius al final. Aquí podria semblar que, com abans, ja estem i hem pogut posar tots els elements a la llista, però no! Ens en falta, com a mínim, un.
Construïm un número de la manera següent:
- Com que ha d’estar entre zero i u, la part no decimal serà 0. És a dir, el nostre número serà 0,…
- Ara decidim cada decimal: Pel primer mirem el primer decimal del primer nombre de la llista:
1) 0,2346…
En aquest cas, un 2. Al nostre número hi posem un número diferent, per exemple un 5. Tenim doncs 0,5…
- Pel segon decimal mirem el segon decimal del segon nombre de la llista i en triem un de diferent:
2) 0,5348…
En aquest cas és un 3. Triem un decimal diferent. Per exemple un 2. Tenim ara 0,52…
- Anem fent el mateix per cada decimal. Així, per exemple, pel decimal 3212 del nou nombre mirarem el decimal de la mateixa posició del nombre 3212 de la llista i triarem un número diferent. D’aquesta forma ens assegurarem que el nou nombre és diferent a tots els de la llista.
Podem acabar de fer-ho pels 4 nombres de la nostra llista:
3) 0,7854…
4) 0,6523…
Un possible nou número seria doncs 0,5241…
Així, hem creat un nou nombre entre zero i u. Aquest número no és a la llista, ens l’hem deixat! Algú ens podria dir: “No és cert, sí que és a la llista! Aquest nombre és idèntic al 20415 de la llista”. Però nosaltres sabem que no és així per la forma en com l’hem construït: el decimal 20415 del nostre número i el de la llista seran diferents!
Aquí podríem pensar, “no passa res, afegim aquest nombre a la llista i ja està”. Però llavors podrem crear un nou nombre de la mateixa manera que tampoc hi serà. Sempre, fem la llista com la fem, en podrem crear de nous. Per tant, mai podrem escriure tots els nombres entre 0 i 1 en una llista.
És a dir, sempre s’acaben abans els infinits nombres de la llista ーels naturalsー que els que hi ha entre 0 i 1. No podem fer les parelles que dèiem al principi i per això, el conjunt de nombres ーinfinitー entre 0 i 1 té més elements que el conjunt dels nombres de comptar. Fortíssim!!
Aquesta demostració impressionant sobre el concepte de l’infinit és del matemàtic alemany Georg Cantor, que la va publicar el 1874. Fins llavors, ningú s’havia fixat en la bellesa de l’infinit.
Ja per acabar…
Una pregunta que ens ve a la ment després d’aquest resultat és quants tipus d’infinits diferents hi ha. Es coneixen des de fa temps exemples de conjunts amb un nombre d’elements més gran que el conjunt dels nombres entre 0 i 1. Això no obstant, quan Cantor va desenvolupar la teoria, va intentar demostrar que no hi havia cap conjunt amb un nombre d’elements major que els nombres naturals, però menor que el nombre d’elements entre 0 i 1. És a dir, un infinit “entremig” dels dos infinits que hem vist en l’article. No va ser capaç d’aconseguir-ho.
Aquest problema ーque s’anomena la Hipòtesi del Continuー es va fer tan famós que David Hilbert el va incloure com el primer dels “23 problemes Matemàtics del Segle” -del segle XX en aquest cas. Va ser Kurt Gödel el 1940 qui va demostrar que el problema és indecidible, és a dir, amb els axiomes de la teoria de conjunts ーles bases que assumim certes per a construir les matemàtiquesー no podem acceptar ni rebutjar la hipòtesi.
L’infinit continua tenint secrets!
Per saber-ne més
Viquipèdia – Hipòtesi del Continu
Viquipèdia – Teorema de Cantor
3blue1brown – Hilbert’s Curve: Is infinite math useful?
