Imagina que estàs en un concurs televisiu, d’aquells que fan al vespre. Et trobes davant de tres portes tancades. De les tres, dues amaguen una cabra i només una té un cotxe —nou a estrenar darrere—, però tu no saps en quina es troba cada cosa. Esculls una porta: si hi ha el cotxe, te’l quedes; si no, te’n vas a casa amb les mans buides. En aquest moment, el presentador —que sap on es troba el cotxe— obre una de les altres dues portes on hi ha una cabra i et demana “Vols canviar a la tercera porta?”.
Què faries? Canviar o quedar-te amb la porta que ja havies escollit? Què s’ha de fer per tenir més possibilitats de guanyar: canviar de porta, quedar-se amb l’escollida o realment és igual, perquè hi ha les mateixes possibilitats?
Monty qui?
Aquest problema està basat en un concurs americà dels anys 60 anomenat “Let’s Make a Deal”, presentat per Monty Hall. Durant el concurs, Monty Hall posava els concursants davant les tres portes i els feia la maleïda pregunta: “Voleu canviar?”.
Això no obstant, no va ser fins a l’any 1990 que el problema no es va fer famós, quan un lector de la revista Parade va formular la pregunta a l’articulista Marilyn vos Savant. Ella va publicar la solució correcta. En les setmanes següents va rebre més de 10.000 cartes dient-li que no podia estar més equivocada. Inclús matemàtics i físics reputats van escriure-li —fins i tot insultant-la— per dir-li que havia donat una solució errònia. Finalment, es va demostrar que els equivocats eren ells. Alguns, fins i tot, es van haver de disculpar públicament.
Però, quina és la solució?
La majoria de gent pensa que és igual canviar o no de porta, que les dues que queden al final tenen la mateixa probabilitat de tenir el cotxe: un 50% cada una. Tanmateix, això no és cert, ja que estem obviant un fet clau: el presentador sap on és el cotxe i ho està tenint en compte a l’obrir la porta. Així, si canvies de porta, tens més probabilitat de guanyar.
Vegem-ho: quan tu tries una porta al principi hi ha 1 possibilitat entre 3 que el cotxe estigui a la porta que has escollit, és a dir, hi ha un 33% de probabilitat. Dit d’una altra manera, hi ha un 66% de possibilitats (2 entre 3) que el cotxe estigui a alguna de les altres dues portes. Quan en Monty obre una de les dues portes restants és com si t’estigués donant a elegir entre la porta que havies triat i les altres dues juntes.
Però per què? Doncs perquè la probabilitat de les dues portes es condensa en la que no havies triat: Les dues portes tenien un 66% de probabilitats de tenir el cotxe, aleshores quan en Monty n’obre una que conté una cabra, aquest 66% de probabilitat passa únicament a la que ningú ha triat, ja que a la del Monty ja sabem que hi havia una cabra!
És a dir, canviant de porta tens un 66% de probabilitat de guanyar mentre que si no ho fas tens només un 33% de probabilitat. És clar que no guanyaràs sempre en canviar! Però fer-ho és una millor estratègia, ja que 2 de cada 3 vegades guanyaràs el cotxe.
No m’ho crec!
Arribats a aquest punt hi ha molta gent que encara no ho té clar. Una bona manera de comprovar-ho és estudiant-ne tots els casos. Suposem que tries la porta número 1. En aquest cas hi ha 3 possibilitats: que el cotxe estigui a la porta 1, a la 2 o a la 3. Veiem què passa en cada cas:
| Tries la porta: | El cotxe és a la porta: | El presentador obre la porta: | Si no canvies | Si canvies |
| 1 | 1 | La 2 o la 3 | Guanyes | Perds |
| 1 | 2 | La 3 | Perds | Guanyes |
| 1 | 3 | La 2 | Perds | Guanyes |
Es veu clarament com, canviant de porta, guanyes en 2 dels 3 casos possibles. Fixeu-vos, però, com és d’important que la condició que el presentador sap on és el cotxe i no obre aquella porta! Aquesta informació és la que, a l’afegir-se al sistema, fa que la probabilitat de la porta que obra el presentador quedi absorbida per la darrera.
Encara no ho veig…
Fem el mateix però un cas molt més exagerat. Imagina que et trobes davant de 100 portes on, en una de les quals hi ha un cotxe i a la resta, cabres. En tries una i tot seguit, el presentador —que sap on és el cotxe— n’obra 98 on hi havia cabres. Només deixa tancada la porta que tu has escollit i una altra. En aquest cas, canviaries?
Pensa-ho, la porta que tu has triat només tenia 1 entre 100 possibilitats de tenir el cotxe, un 1%! Mentre que a les altres 99 hi ha un 99% de probabilitat que tinguin el cotxe. A l’obrir-les totes 99 menys una, aquesta probabilitat hi continua essent, només que sabem que a les 98 obertes hi havia una cabra. Per tant, tota aquesta probabilitat s’ha condensat en la porta que el presentador ha deixat tancada.
Jo no hauria canviat!
No et preocupis, no estàs sol! Un estudi amb 228 persones va observar que només al voltant d’un 13% de la gent canviava de porta quan se li presentava el problema. I a més, la majoria de gent insisteix en no canviar quan se li repeteix el problema. És a dir, no ens adonem que perdem més cops dels que guanyem, al contrari del que ens diu la nostra intuïció: que canviant o no canviant tens les mateixes probabilitats de guanyar.
Per contra, fent l’estudi a coloms —amb alguna llavor en lloc del cotxe— es va veure que amb unes poques repeticions aprenien que era millor canviar de porta que no pas quedar-se amb la que havien escollit al principi, i així guanyar el premi més vegades en total.
Ja per acabar…
Psicològicament hi ha diverses teories sobre per què els humans tendim a equivocar-nos repetidament en aquest problema. Una d’elles afirma que és una combinació del biaix de l’statu quo —o la preferència dels humans a mantenir les coses com estan— i el fet que la gent prefereix cometre un error per inacció a equivocar-se actuant.
Amb aquest problema hem vist que les nostres creences no sempre són certes, inclús les que semblen més evidents i que tenim interioritzades. Així doncs, sempre va bé qüestionar-se la intuïció i no actuar per inèrcia!
Per saber-ne més
Numberphile – Monty Hall Problem (extended math version)
Viquipèdia – Marilyn vos Savant
La Sexta Divulgación – ¿Son las palomas más listas que nosotros?
2. Extreta de Wikimedia Commons.
3. Extreta de la revista Parade.
