Des de petits, ens han dit i repetit que no podem dividir entre zero. No es pot! És il·legal, prohibit, fora! És el botó vermell que ens han dit que no hem de prémer! Però evidentment nosaltres el volem prémer i el premem. Ens hem carregat les matemàtiques?

Som Ciència Oberta i, avui, intentarem posar llum a la foscor. Els testimonis colpidors que apareixen en aquesta història són reals, i els fets, també. En alguns moments, aquest article podria ferir sensibilitats. Dividir entre zero podria ferir sensibilitats.

Primer, els límits

“Dividir entre zero dona infinit”

– Andreu, matemàtic amateur

Què vol dir que alguna cosa “dona” infinit? L’infinit és un concepte escorredís, obscur. No podem dir que una cosa és igual a infinit, ja que l’infinit no és un nombre, és una idea. Segons sempre ens han dit, l’infinit fa referència a una quantitat sense fi. Però què vol dir això exactament?

Ja hem tractat amb el concepte d’infinit en altres articles, on vam veure que el conjunt infinit dels naturals —els nombres de comptar: l’u, el dos, etc.— tenia el mateix nombre d’elements que el dels enters. En aquest sentit diem que el conjunt és infinit perquè no s’acaba mai, perquè sempre podem trobar naturals més grans. Ens podem imaginar el natural més gran que vulguem que sempre n’hi haurà un d’una unitat més gran.

Ara, mirem un cas diferent. Fixem-nos en la funció 1/x^2 —una funció només és una màquina que donat un valor x ens en retorna un altre. En aquest cas la funció divideix 1 entre el nombre x^2. Vegem què passa quan ens acostem cap al zero. A mida que prenem una x més propera a zero, la funció va creixent. Ho podem veure a l’animació, mentre que quan x=1, la funció val només 1, quan arribem a x=0,01, tenim 10000:

En aquest cas representem la funció en una gràfica. L’eix horitzontal representa els possibles valors que pot prendre x i a l’eix vertical el que ens retorna la funció. Així podem veure de forma visual el resultat de la funció per cada punt de x.

A mesura que ens acostem a zero, la funció va creixent més i més. En aquest cas, diem que el límit de 1/x^2  és infinit quan x va cap a zero. O que 1/x^2 tendeix a infinit al zero. Dir que és igual a infinit no té sentit, ja que l’infinit no és cap punt en la recta dels nombres.

“Mimimi… Dividir entre zero tendeix a infinit.”

– Andreu, bastant enfadat

Bé, això tampoc és cert. De forma tramposa, estàvem mirant la funció 1/x^2! Hem de mirar 1/x, ja que equival realment a l’operació que fem al dividir entre un nombre: el valor x. Encara que quan x és zero cap de les dues funcions tingui sentit —perquè no podem dividir entre 0—, al seu voltant són molt diferents! En aquest cas, mentre que quan ens acostem al zero pels positius, els números van creixent més i més, quan ho fem pels negatius, cada cop són més grans però negatius! Ho podem veure a l’animació següent:

Veiem que quan ens acostem més i més al zero des dels positius —per la dreta— la funció es fa més gran. En canvi, quan ens hi apropem des dels negatius —per l’esquerra— es fa cada cop més i més negativa.

És a dir, si ens acostem al zero per l’esquerra la funció 1/x tendeix a menys infinit. Per un costat va cap a infinit i per l’altre va cap a menys infinit!  No té cap mena de sentit dir que tendeix a infinit, ja que depenent de per on t’acostis va cap a llocs completament diferents! En aquest cas es diu que el límit de la funció al zero no està definit.

Segon, les normes

“Hi ha controvèrsia!”

– Salvador, matemàtic discret

Tot això està molt bé, però perquè no podem dividir entre zero? Per respondre ens hem d’assegurar que sabem exactament què vol dir dividir. Quan volem calcular 6 entre 2, el que realment ens estem preguntant és quantes vegades hem de sumar 2 perquè doni 6, o sigui: dos multiplicat per quin nombre dona 6,

    \[2 \cdot ?? = 6\]

En aquest sentit, la divisió és l’operació inversa a la multiplicació, de la mateixa manera que la resta és l’operació inversa a la suma. Si primer multipliquem per dos i després dividim per dos ens queda el mateix resultat que teníem al principi. Diem que ½ és l’invers multiplicatiu de 2. Igualment, ⅓ ho és de 3, i així anar fent. Quan multipliquem un nombre pel seu invers, dona 1. Per exemple,

    \[2\cdot \frac{1}{2}=1\]

    \[5\cdot \frac{1}{5}=1\]

El que volem és trobar l’invers multiplicatiu de 0, és a dir, un nombre que multiplicat per zero doni 1. Però com que tot nombre multiplicat per zero dona zero, aquest mai existirà. Per tant, zero no té invers multiplicatiu, i és per això que no podem dividir entre zero.

Tercer, trenquem les normes

“Si ja ho heu fet un cop, per què no hi torneu?”

– Marta, no li agraden els complexos

Durant molt de temps, fer l’arrel quadrada d’un nombre negatiu era il·legal en el nostre món matemàtic. Un dia, però, els matemàtics van decidir saltar-se la norma i dir que \sqrt{-1}=i, on i  és la unitat imaginària. En fer-ho van descobrir que els nombres que apareixien, els complexos, tenien propietats molt interessants que servien per descobrir nous mons matemàtics. Per exemple, servien per resoldre integrals difícils d’una forma més fàcil, tenien alguna a cosa a veure amb els misteris dels nombres primers i ajudaven els físics en moltes coses, com ara a treballar millor amb les equacions de l’electricitat.

Per què no podem fer el mateix amb la divisió entre zero? Bé, de fet, ningú ens ho impedeix. Posem, per exemple que 1/0=∞, fent veure que no sabem res de què vol dir el símbol de l’infinit.  Així, tindríem que ∞ és l’invers multiplicatiu de 0, per tant 0 · ∞ = 1. Per tant,

    \[(0\cdot \infty)+(0\cdot \infty)=1+1=2\]

Ara, però, si apliquem la propietat distributiva, podem reescriure la part esquerra de la igualtat com,

    \[(0\cdot \infty)+(0\cdot \infty)=(0+0)\cdot\infty=1\]

És a dir, per una banda tenim que (0 · ∞) + (0 · ∞) = 2 i, per l’altre que (0 · ∞) + (0 · ∞) = 1. És a dir, 1=2 !!! Això no té cap mena de sentit, o, en qualsevol cas, si donem un resultat a 1/0 acabem en un món matemàtic on tots els nombres valen el mateix, cosa que és bastant inútil…

Quart, i a mi què?

“Tot això m’és ben igual!”

– Magda, vol construir calculadores

Com calcula una divisió un ordinador o una calculadora? L’algorisme amb què ho fan és bastant complex, ja que ha de ser el màxim d’eficient possible, però la idea principal és que va restant el nombre fins que arriba a zero o el resultat és més petit que el que es resta —en aquest darrer cas fa algun altre procediment per trobar els decimals. Així, per calcular 10/2 fa 10-2=8, 8-2=6, 6-2=4, 4-2=2 i finalment 2-2=0, com que ho ha fet 5 cops, sap que 10/2=5.

Què passa quan intentem fer que l’ordinador divideixi entre zero? Doncs que començarà a restar zero. I continuarà restant zeros. I ho anirà fent fins que algú el pari, ja que mai no es mourà i mai no podrà resoldre la divisió. Hi ha dues possibles maneres d’evitar que això ens bloquegi l’ordinador. Podem posar-li un límit de restes, un cop superat cancel·li l’operació i doni un error. També podem posar una petita línia de codi que detecti si algú està fent una il·legalitat i ens avisi abans.

La calculadora de Windows no només dona error sinó que es permet alliçonar-te sobre els teus pocs coneixements matemàtics.

Algun d’aquests dos mètodes és el que fa la calculadora, el mòbil o el full de càlcul quan intentem dividir entre zero, i al final, es nega a fer-ho. Però no sempre s’implementen aquests sistemes de control. El setembre de l’any 1997, el creuer de la Marina d’Estats Units USS Yorktown es va quedar unes hores sense energia perquè l’ordinador que el controlava —que estaven provant en aquell vaixell— va intentar dividir entre zero.

Els detalls de l’avaria no són clars —i no sabem quant temps va quedar el vaixell inutilitzat—, però se sap que va ser un error de dividir entre zero. Sembla que va començar quan algú va posar un zero a una base de dades i l’ordinador va tractar de dividir. Es va posar a restar zeros —i a comptar quants cops ho feia— fins que el lloc on guardava el recompte es va quedar petit, provocant que l’ordinador col·lapsés. Una sola divisió entre zero va acabar amb un vaixell de la marina nord-americana!

Ja per acabar…

Ens podríem preguntar què passa quan calculem 0^0, que és una altra operació que genera molta controvèrsia. Sabem que qualsevol número elevat a zero dona 1 i que zero elevat a qualsevol altre número és 0. Per tant, quina és la solució, 0 o 1?

En aquest cas, el límit per la dreta i per l’esquerra de zero de la funció x^x dona 1, i ens podria semblar que ja està, que ho hem resolt. Això no obstant, els matemàtics diuen que és una indeterminació: hi continua havent foscor. Si ens hi acostem des dels nombres complexos, aleshores cada límit depèn de quina direcció prenem! Això, però, ho deixem per un altre dia!

Per saber-ne més

Ted-Ed – Why can’t you divide by zero?

Numberphile – Problems with Zero

Matt Parker – Humble Pi

Les animacions s’han fet amb manim, https://github.com/3b1b/manim.